覚えなくていい「コーシーシュワルツの不等式」 - 東大生の高校数学ブログ, 宇治 抹茶 わらび 餅 氷
ポケモン 色 違い 一覧 サンムーン数学の良さや美しさを感じられる問題に出会えることは、この上ない喜びでもあります。 今回は証明方法についてでしたが、今後はコーシー・シュワルツの不等式の問題への適用方法についてもまとめてみたいと思っています。 最後までお読みいただき、ありがとうございました。
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コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件について - Mathwills
コーシー・シュワルツの不等式 $a,b,x,y$ を実数とすると \begin{align} (ax+by)^2\leqq(a^2+b^2)(x^2+y^2) \end{align} が成り立ち,これを コーシー・シュワルツの不等式(Cauchy-Schwarz's inequality) という. 等号が成立するのは a:b=x:y のときである. 暗記コーシー・シュワルツの不等式の証明-2変数版- 上のコーシー・シュワルツの不等式を証明せよ.また,等号が成立する条件も確認せよ. (右辺) $-$ (左辺)より &(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2\\ &=(a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2)\\ &-(a^2x^2+2abxy+b^2y^2)\\ &=b^2x^2-2(bx)(ay)+a^2y^2\\ &=(bx-ay)^2\geqq0 等号が成立するのは, $(bx − ay)^2 = 0$ ,すなわち $bx − ay = 0$ のときであり,これは のことである. $\blacktriangleleft$ 比例式 暗記コーシー・シュワルツの不等式の証明-3変数版- $a,b,c,x,y,z$ を実数とすると & (ax+by+cz)^2\\ \leqq&(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) が成り立つことを証明せよ. また,等号が成り立つ条件も求めよ. コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件について - MathWills. (右辺) $-$ (左辺)より & a^2(y^2+z^2)+b^2(x^2+z^2)\\ &\quad+c^2(x^2+y^2)\\ &\quad-2(abxy+bcyz+acxz)\\ &=a^2y^2-2(ay)(bx)+b^2x^2\\ &\quad+a^2z^2-2(az)(cx)+c^2x^2\\ &\quad+b^2z^2-2(bz)(cy)+c^2y^2\\ &=(ay-bx)^2+(az-cx)^2\\ &\quad+(bz-cy)^2\geqq 0 等号が成立するのは, $(ay-bx)^2=0, ~(az-cx)^2=0, $ $~(bz-cy)^2=0$ すなわち, $ ay-bx=0, ~az-cx=0, $ $~bz-cy=0$ のときであり,これは a:b:c=x:y:z \end{align} のことである. $\blacktriangleleft$ 比例式 一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式に関しては,付録 一般の場合のコーシー・シュワルツの不等式 を参照のこと.
(この方法以外にも,帰納法でも証明できます.それは別の記事で紹介します.) 任意の実数\(t\)に対して,
f(t)=\sum_{k=1}^{n}(a_kt+b_k)^2\geqq 0
が成り立つ(実数の2乗は非負). 左辺を展開すると,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)t^2+2\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)t+\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\geqq 0
これが任意の\(t\)について成り立つので,\(f(t)=0\)の判別式を\(D\)とすると\(D/4\leqq 0\)が成り立ち,
\left(\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\right)^2-\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}b_k^2\right)\leqq 0
よって,
\left(\sum_{k=1}^{n} a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n} b_k^2\right)\geqq\left(\sum_{k=1}^{n} a_kb_k\right)^2
その他の形のコーシー・シュワルツの不等式
コーシー・シュワルツの不等式というと上で紹介したものが有名ですが,実はほかに以下のようなものがあります. 1. (複素数)
\(\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n} |\alpha_k|^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}|\beta_k|^2\right)\geqq\left|\sum_{k=1}^{n}\alpha_k\beta_k\right|^2\)
\(\alpha_k, \beta_k\)は複素数で,複素数の絶対値は,\(\alpha=a+bi\)に対して\(|\alpha|^2=a^2+b^2\). コーシー・シュワルツの不等式とその利用 | 数学のカ. 2. (定積分)
\(\displaystyle \int_a^b \sum_{k=1}^n \left\{f_k(x)\right\}^2dx\cdot\int_a^b\sum_{k=1}^n \left\{g_k(x)\right\}^2dx\geqq\left\{\int_a^b\sum_{k=1}^n f_k(x)g_k(x)dx\right\}^2\)
但し,閉区間[a, b]で\(f_k(x), g_k(x)\)は連続かつ非負,また,\(a 覚えなくていい「ベクトル」2(内積) - 算数は得意なのに数学が苦手なひとのためのブログ
のつづきです。 コーシーシュワルツの不等式ってあまり聞きなれないかもしれないけど、当たり前の式だからなんてことないです。
コーシーシュワルツの不等式は
または
っていう複雑な式だけど
簡単にいえば,
というだけ。 内積 は長さの積以下であるというのは自明です。簡単ですね。 これらも上の証明方法で同様に示すことができます. /\overrightarrow{n} \) となります。
したがって\( a:b=x:y\) です。
コーシ―シュワルツの不等式は内積の不等式と実質同じです。
2次方程式の判別式による証明
ややテクニカルですが、すばらしい証明方法です。
私は感動しました! \( t\)を実数とすると,次の式が成り立ちます。この式は強引に作ります! (at-x)^2+(bt-y)^2≧0 \cdots ②
この式の左辺を展開して,\( t \) について整理すると
&(a^2+b^2)t^2-2(ax+by)t\\
& +(x^2+y^2) ≧0
左辺を\( t \) についての2次式と見ると,判別式\( D \) は\( D ≦ 0 \) でなければなりません。
したがって
&\frac{D}{4}=\\
&(ax+by)^2-(a^2+b^2)(x^2+y^2)≦0
これより
が成り立ちます。すごいですよね! 覚えなくていい「コーシーシュワルツの不等式」 - 東大生の高校数学ブログ. 等号成立は②の左辺が0になるときなので
(at-x)^2=(bt-y)^2=0
x=at, \; y=bt
つまり,\( a:b=x:y\)で等号が成立します。
この方法は非常にすぐれていて,一般的なコーシー・シュワルツの不等式
{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)}{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)}\geq{\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_ib_i\right)^2} \]
の証明にも威力を発揮します。ぜひ一度試してみてほしいと思います。
「数学ってすばらしい」と思える瞬間です! ということがわかりました。
以前,式を考えるときに,
『この式は$\bm{{}_n\text{C}_2=\frac{n(n-1)}2}$個の成立が必要だ。でも,$\bm{\frac{a_1}{x_1}=\frac{a_2}{x_2}=\cdots=\frac{a_n}{x_n}\cdots\bigstar}$は$\bm{n-1}$個の式だから,もっとまとめる必要があるのかな?』
と思っていたのが間違いでした。$x_1$〜$x_n$の途中に$0$があれば,式$\bigstar$は分断されるので,関係を維持するために多くの式が必要になるからです。
この考え方により,例題の等号成立条件も
$$x^2y=xy^2$$ と考えるようになりました。 「セブンプレミアム 宇治抹茶氷わらび餅・あんこ添え」が順次発売される。
うまそう
「セブンプレミアム 宇治抹茶氷わらび餅・あんこ添え」が、8月22日より順次発売される。セブン-イレブンなどセブン&アイグループ各店での取り扱い。価格は348円(税込)。
「丸久小山園」の抹茶を使用した抹茶氷に、抹茶アイス、甘納豆、2種類の餅をトッピングしたスイーツ。冷凍下でもやわらかい餅とわらび餅が使用されており、もちもちとした食感が楽しめるとか。
甘納豆は、希少価値の高い大粒の北海道産大納言小豆を使用。製造に丸2日かけて丁寧に仕上げられており、小豆本来の上品な甘さが味わえるそうだ。 抹茶アイス、甘納豆、白玉、抹茶わらび餅が抹茶氷にトッピング♪
苦味が控えめな抹茶アイス、ホクホク食感で甘めの甘納豆、もちもち食感で弾力のある白玉とわらび餅、トッピングだけでもとても美味しかったです。
さらに抹茶の氷は、苦味がしっかりきいてます。甘さ控えめですね。その氷の中にはとろっと甘い黒蜜が入ってます。この蜜が濃厚で甘い!! でも、抹茶の氷の苦味ととても合います♪
値段高かったけど、美味しかったし、ボリュームもあって満足できま… 続きを読む
下も抜かりなし! 梅園 宇治金時白玉+抹茶わらび餅 | 抹茶 かき氷, わらび餅, 食べ物のアイデアコーシー・シュワルツの不等式とその利用 | 数学のカ
覚えなくていい「コーシーシュワルツの不等式」 - 東大生の高校数学ブログ
夏になると絶対にかき氷が食べたくなるんですけど、近所に和菓子屋がないので、作りたてのかき氷を食べようと思うとなかなか難しい。。。
でもね、セブンイレブンに行くとあるんだよね!美味しいかき氷のアイスが! セブンプレミアムから「宇治抹茶氷わらび餅・あんこ添え」(価格:税込354円)というスイーツが出ていて、これがまた美味しいんですよ~(^^)
抹茶系のスイーツが大好きな人には間違いなく試してみてほしい!ということで、久しぶりにセブンスイーツレポートをお届けします。
「宇治抹茶氷わらび餅・あんこ添え」
抹茶系の食品って何でもパッケージは緑だね。ちょっと霞んだ緑。想像力の凄いところだと思うんだけど、緑だと抹茶とかメロンをイメージするもんね。これでイチゴ味がしても困るか! 【高評価】セブンプレミアム 宇治抹茶氷 わらび餅・あんこ添えのクチコミ・評価・値段・価格情報【もぐナビ】. 炭水化物の量は69. 4gとけっこうあるな。。。
蓋を開けると、あんみつのように具材がどど~んと乗ってる!アイス、白玉、わらび餅、あずき。
モチッとした弾力が楽しいわらび餅。わらび餅ってどんなスイーツにも合うと思う。
下にはしゃりしゃりの氷と練乳が出てきて、飽きずに最後まで食べられました。甘くて冷たいかき氷アイス、それも抹茶ですから食べた後がすっきり!夏にはピッタリだなぁ~と思ったよ。
ほんと、わらび餅とか白玉とかの具が乗ってるかき氷だから、ボリュームもあって満足度が高い。
きっと屋外の炎天下でこれを食べたらもっと美味しいんだろうね!蒸し暑い夜に食べてもめっちゃ美味しかったもん\(^o^)/
ということで、おそらく期間限定品だと思うから、「宇治抹茶氷わらび餅・あんこ添え」を見かけたらぜひお早めに試してみてください!
かき氷セブンスイーツ「宇治抹茶氷わらび餅・あんこ添え」、甘味感すごすぎて大満足！ #セブンスイーツアンバサダー | め〜んずスタジオ
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