正規 直交 基底 求め 方
新 花 の 慶次 漆黒2021. 05. 28 「表現行列②」では基底変換行列を用いて表現行列を求めていこうと思います! 「 表現行列① 」では定義から表現行列を求めましたが, 今回の求め方も試験等頻出の重要単元です. 【数学】射影行列の直感的な理解 | Nov’s Research Note. 是非しっかりマスターしてしまいましょう! 「表現行列②」目標 ・基底変換行列を用いて表現行列を計算できるようになること 表現行列 表現行列とは何かということに関しては「 表現行列① 」で定義しましたので, 今回は省略します. まず, 冒頭から話に出てきている基底変換行列とは何でしょうか? それを定義するところからはじめます 基底の変換行列 基底の変換行列 ベクトル空間\( V\) の二組の基底を \( \left\{\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n}\right\}, \left\{\mathbf{u_1}, \mathbf{u_2}, \cdots, \mathbf{u_n}\right\}\) とし ベクトル空間\( V^{\prime}\) の二組の基底を \( \left\{ \mathbf{v_1}^{\prime}, \mathbf{v_2}^{\prime}, \cdots, \mathbf{v_m}^{\prime}\right\} \), \( \left\{ \mathbf{u_1}^{\prime}, \mathbf{u_2}^{\prime}, \cdots, \mathbf{u_m}^{\prime} \right\} \) とする. 線形写像\( f:\mathbf{V}\rightarrow \mathbf{V}^{\prime}\)に対して, \( V\) と\( V^{\prime}\) の基底の間の関係を \( (\mathbf{v_1}^{\prime}, \mathbf{v_2}^{\prime}, \cdots, \mathbf{v_m}^{\prime}) =(\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \cdots, \mathbf{v_n})P\) \( (\mathbf{u_1}^{\prime}, \mathbf{u_2}^{\prime}, \cdots, \mathbf{u_m}^{\prime}) =( \mathbf{u_1}, \mathbf{u_2}, \cdots, \mathbf{u_n})Q\) であらわすとき, 行列\( P, Q \)を基底の変換行列という.
【数学】射影行列の直感的な理解 | Nov’s Research Note
◆ λ = 1 について [0. 1. 1] [0. 0. 0] はさらに [0. 0][x] = [0] [0. 1][y].... [0] [0. 0][z].... 0][w]... [0] と出来るので固有ベクトルを計算すると x は任意 y + z = 0 より z = -y w = 0 より x = s, y = t (s, tは任意の実数) とおくと (x, y, z, w) = (s, t, -t, 0) = s(1, 0, 0, 0) + t(0, 1, -1, 0) より 次元は2, 基底は (1, 0, 0, 0), (0, 1, -1, 0) ◆ λ = 2 について [1. -1] [0. 正規直交基底 求め方 3次元. 0.. 0] [0. 0] [1. 0][y].... 1][z].... [0] x = 0 y = 0 z は任意 より z = s (sは任意の実数) とおくと (x, y, z, w) = (0, 0, s, 0) = s(0, 0, 1, 0) より 次元は 1, 基底は (0, 0, 1, 0) ★お願い★ 回答はものすごく手間がかかります 回答者の財産でもあります 回答をもらったとたん取り消し削除したりしないようお願い致します これは心からのお願いです
さて, 定理が長くてまいってしまうかもしれませんので, 例題の前に定理を用いて表現行列を求めるstepをまとめておいてから例題に移りましょう. 表現行列を「定理:表現行列」を用いて求めるstep 表現行列を「定理:表現行列」を用いて求めるstep (step1)基底変換の行列\( P, Q \) を求める. 正規直交基底 求め方 4次元. (step2)線形写像に対応する行列\( A\) を求める. (step3)\( P, Q \) と\( A\) を用いて, 表現行列\( B = Q^{-1}AP\) を計算する. では, このstepを意識して例題を解いてみることにしましょう 例題:表現行列 例題:表現行列 線形写像\( f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\) \(f ( \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3\end{pmatrix}) = \left(\begin{array}{ccc}x_1 + 2x_2 – x_3 \\2x_1 – x_2 + x_3 \end{array}\right)\) の次の基底に関する表現行列\( B\) を求めよ. \( \mathbb{R}^3\) の基底:\( \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\2 \\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\0 \\1\end{pmatrix} \right\} \) \( \mathbb{R}^2\) の基底:\( \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\-1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\1\end{pmatrix} \right\} \) それでは, 例題を参考にして問を解いてみましょう. 問:表現行列 問:表現行列 線形写像\( f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2\), \( f:\begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \\x_3\end{pmatrix} \longmapsto \left(\begin{array}{ccc}2x_1 + 3x_2 – x_3 \\x_1 + 2x_2 – 2x_3 \end{array}\right)\) の次の基底に関する表現行列\( B\) を定理を用いて求めよ.